Carathéodory 定理的推广

Carathéodory 证明了 $n$ 个复数 $c_1,...,c_n$ 可唯一地写为 $c_p=\sum_{j=1}^m \rho_j {\epsilon_j}^p$ 的形式，其中 $p=1,...,n$，$\epsilon_j$ 为互不相同的幺模复数，$\rho_j$ 为严格正数，且整数 $m$ 不超过 $n$。我们给出当前述性质在仅要求 $\rho_j$ 为非零实数时仍成立所须满足的条件。结果表明，$\rho_j$ 符号的可能选择数目{至多}等于其 $i,j$ 项为 $c_{j-i}$ 的 Hermitian Toeplitz 矩阵的不同特征值个数，其中 $c_{-p}$ 等于 $c_{p}$ 的复共轭且 $c_{0}=0$。该推广与中子散射相关。其证明借助了一个引理——它本身是一个有趣的边结果——该引理仅基于多项式系数建立了多项式根幺模性的充要条件。关键词：Toeplitz 矩阵分解，幺模根，中子散射，信号理论，反问题。PACS: 61.12.Bt, 02.30.Zz, 89.70.+c, 02.10.Yn, 02.50.Ga