关于 N. Th. Varopoulos 问题与常数 $C_2(n)$

设 $\mathbb C_k[Z_1,\ldots, Z_n]$ 表示 $n$ 个复变量中次数至多为 $k$ 的所有多项式的集合，$\mathscr{C}_n$ 表示某个 Hilbert 空间 $\mathbb{H}$ 上交换压缩算子的所有 $n$ 元组 $\boldsymbol T=(T_1,\ldots,T_n)$ 的集合。有趣的不等式 $$K_{G}^{\mathbb C}\leq \lim_{n\to \infty}C_2(n)\leq 2 K^\mathbb C_G,$$ 其中 $$C_k(n)=\sup\big\{\|p(\boldsymbol T)\|:\|p\|_{\mathbb D^n,\infty}\leq 1, p\in \mathbb C_k[Z_1,\ldots,Z_n],\boldsymbol T\in\mathscr{C}_n \big\}$$ 且 $K_{G}^{\mathbb C}$ 是复 Grothendieck 常数，是由 Varopoulos 得出的。我们通过证明极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{C_2(n)}{K^\mathbb C_G}$ 严格大于 $1$ 来回答这一长期存在的问题。设 $\mathbb C_2^s[Z_1,\ldots , Z_n]$ 表示 $n$ 个变量中所有二次齐次复值多项式 $p(z_1,\ldots,z_n)$ $=\sum_{j,k=1}^{n}a_{jk}z_jz_k$ 的集合，其中 $(\!(a_{jk})\!)$ 是 $n\times n$ 复对称矩阵。对于每个 $n\in\mathbb{N}$，定义线性映射 $\mathscr{A}_n:\big (\mathbb C_2^s[Z_1,\ldots , Z_n],\|\cdot\|_{\mathbb D^n, \infty}\big ) \to \big (M_n, \|\cdot \|_{\infty \to 1}\big )$ 为 $\mathscr{A}_n\big (p) = (\!(a_{jk})\!)$。我们证明算子 $\mathscr{A}_n;\,n\in\mathbb{N}$ 的范数上确界（关于 $n$）的下界由常数 $\pi^2/8$ 界定。使用最初由 Varopoulos 引入的一类算子，我们还构造了一大类使 von Neumann 不等式失效的显式多项式。我们证明原始的 Varopoulos-Kaijser 多项式在一个适当选取的、庞大的二次齐次多项式类中是极值的。我们还研究了当 $n \to \infty$ 时常数 $C_k(n)$ 的行为。