有界次数布尔函数中相关变量数的渐近紧界

我们证明存在常数 $C\leq 6.614$，使得每个次数至多为 $d$ 的布尔函数（作为 $\mathbb{R}$ 上的多项式）都是 $C\cdot 2^d$-junta，即它依赖于至多 $C\cdot 2^d$ 个变量。这改进了 Nisan 与 Szegedy [Computational Complexity 4 (1994)] 的 $d\cdot 2^{d-1}$ 上界。我们的证明使用了一种新的加权方案，基于变量所出现的最高次单项式为其赋权。界 $C\cdot 2^d$ 关于常数 $C$ 是紧的，因为深度为 $d$ 的只读一次决策树达到了 $2^d-1$ 的下界。我们通过为每个正整数 $d$ 构造一个次数为 $d$、具有 $3\cdot 2^{d-1}-2$ 个相关变量的函数，略微改进了下界。类似构造由 Shinkar 与 Tal 独立观察到。