射影曲面上的规范理论与四维反自对偶 Einstein 度量

给定曲面 $N$ 上的一个射影结构，我们展示如何规范地构造一个具有非零数量曲率的中性号差 Einstein 度量，以及某个秩 $2$ 仿射丛 $M \to N$ 的全空间 $M$ 上的一个辛形式。该 Einstein 度量具有反自对偶共形曲率，并容许一个反自对偶平面的平行场。我们证明，局部地，每一个这样的度量都源于我们的构造，除非它是共形平坦的。对应于 $\mathbb{RP}^2$ 上平坦射影结构的齐性 Einstein 度量是 $M=\mathrm{SL}(3, \mathrm{R})/\mathrm{GL}(2, \mathrm{R})$ 上 Fubini-Study 度量的非紧实形式。我们还展示了我们的构造如何与 Calderbank 引入的某个规范理论方程相关联。