具有负曲率的紧致爱因斯坦四维流形例子

我们给出维数为$4$的紧致、负曲率爱因斯坦流形的新例子。这似乎是非局部齐次的此类首批例子。我们的度量由Gromov和Thurston先前考虑过的一列4—流形$(X_k)$承载。构造始于一列双曲4—流形$(M_k)$，每个都包含一个零同调的全测地曲面$\Sigma_k$，其法向单射半径随$k$趋于无穷。对自然数$l$的固定选取，我们考虑沿$\Sigma_k$分支的$l$重覆盖$X_k \to M_k$。我们证明对任意$l$的选取及所有足够大的$k$（依赖于$l$），$X_k$承载一个负截面曲率的爱因斯坦度量。证明的第一步是在$X_k$上找到一个近似爱因斯坦度量，这是通过在分支轨迹附近的模型爱因斯坦度量与从$M_k$拉回的双曲度量之间插值完成的。证明的第二步是通过依赖于参数的反函数定理版本将其微扰为爱因斯坦方程的真正解。该分析依赖于基于$L^2$强制性估计的精细bootstrap过程。