$(\alpha,t)$-Eulerian 多项式变体的 $\gamma$-正性

1977 年，Carlitz 和 Scoville 通过对排列关于超越数、下降数、不动点和循环数的计数，引入了循环 $(\alpha,t)$-Eulerian 多项式 $A^{\mathrm{cyc}}_n(x,y, t\,|\,\alpha)$。在本文中，我们基于排列的基于下降的统计量，引入了 Eulerian 多项式的九变量推广 $A_n(u_1,u_2,u_3,u_4, f, g, t\,|\,\alpha, \beta)$，并证明了这两种广义 Eulerian 多项式之间的联系公式。通过探索该联系公式，我们直接推导出了后者的指数生成函数以及 Eulerian 多项式变体的各种 $\gamma$-正性公式。特别地，我们的结果统一并加强了 Ji 以及 Ji-Lin 的近期结果。在与 Specht 基和 web 基之间的转移矩阵相关的工作中，Hwang、Jang 和 Oh 最近引入了 web 排列，这些排列可以通过循环 Andr\'e 排列来刻画。我们证明了，对后一种排列关于下降数、不动点和循环数进行计数，可以得到 $(\alpha,t)$-Eulerian 多项式的归一化 $\gamma$-向量。我们的结果推广并统一了文献中的若干已知结果。