关于 1/k-Eulerian 多项式的 bi-γ 正性的组合学

1/k-Eulerian 多项式 $A^{(k)}_{n}(x)$ 由 Savage 和 Viswanathan 作为 $k$-反演序列中的上升次数多项式引入。虽然已知 1/k-Eulerian 多项式 $A^{(k)}_{n}(x)$ 具有 bi-γ 正性，但对相应 bi-γ 系数的组合学解释仍保持开放状态。Athanasiadis 提出了从纯组合学角度研究 bi-γ 正性主题的设想。本文通过运用特定有序标记森林模型，为 $A^{(k)}_{n}(x)$ 的 bi-γ 系数提供组合学解释。我们的组合学方法包含三个主要步骤：(i) 在 $k$-Stirling 排列与称为递增修剪偶数 $k$ 树森林之间构造双射；(ii) 在递增修剪偶数 $k$ 树上引入广义的 Foata--Strehl 作用，从而推导初始字母为 $1$ 的 $k$-Stirling 排列上最长上升-台阶多项式具有 γ 正性，这一结果可能具有独立的兴趣；(iii) 在递增修剪偶数 $k$ 树森林上开发两个关键变换，以得出我们的组合学解释。