Gessel 对应与多重集 Stirling 置换上 Eulerian 多项式的偏 $\gamma$-正性

思索 0-1-2 递增平面树的文法标记，我们意识到文法标记起着记录原递增二叉树被截去叶子的作用。尽管此种理解纯属心理层面，只要牢记 Gessel 表示中由递增 $(k+1)$-叉树表示的 $k$-Stirling 置换的标记 $x$ 与 $y$ 的组合意义，它确为处理多重集 Stirling 置换上 Eulerian 多项式的偏 $\gamma$-正性提供了高效工具。更确切地说，我们在 Gessel 树上引入 Foata-Strehl 作用，给出上述 Eulerian 多项式偏 $\gamma$-系数的一种解释，不同于 Lin-Ma-Zhang 与 Yan-Huang-Yang 所得者。特别地，我们的策略可调适以处理二阶 Eulerian 多项式的偏 $\gamma$-系数，其又可轻易转为 Ma-Ma-Yeh 关于 Stirling 置换某些统计量的组合表述。