Stirling-Eulerian 多项式的 $q$-模拟

1974年，Carlitz 和 Scoville 引入了 Stirling-Eulerian 多项式 $A_n(x,y|\alpha,\beta)$，作为按下降、上升、从左到右最大值和从右到左最大值对排列的计数多项式。最近，Ji 考虑了 $A_n(x,y|\alpha,\beta)$ 的一个细化，记为 $P_n(u_1,u_2,u_3,u_4|\alpha,\beta)$，它是按谷、峰、连续上升、连续下降、从左到右最大值和从右到左最大值对排列的计数多项式。利用 Chen 的上下文无关文法演算，Ji 证明了 $P_n(u_1,u_2,u_3,u_4|\alpha,\beta)$ 的生成函数公式，推广了 Carlitz 和 Scoville 的工作。Ji 的公式具有许多良好的推论，其中之一是 $A_n(x,y|\alpha,\beta)$ 的一个有趣的 $\gamma$-正性展开。在本文中，我们利用 Gessel 的 $q$-组合公式证明了 Ji 公式的一个 $q$-模拟，并为她的 $A_n(x,y|\alpha,\beta)$ 的 $\gamma$-正性展开提供了一种组合方法。