基于下降奇偶性的B型和D型欧拉多项式的$q$-计数

Carlitz和Scoville在1973年考虑了一个四变量多项式，该多项式根据排列中下降和上升的奇偶性来计数$\mathfrak{S}_n$中的排列。在近期工作中，Pan和Zeng通过用上述四个统计量以及逆序数来计数排列，证明了Carlitz-Scoville生成函数的一个$q$-模拟。此外，他们还通过根据下降和上升的奇偶性来计数带符号排列，证明了一个B型模拟。在本工作中，我们通过用上述四个统计量和B型逆序数来计数$\mathfrak{B}_n$中的排列，证明了Pan和Zeng的B型结果的一个$q$-模拟。我们还得到了B型双变量交错下降多项式的生成函数的一个$q$-模拟。我们也考虑了D型考克斯特群中一个类似的五变量多项式，并给出了它们的指数生成函数。D型群的交错下降此前也由Remmel定义过，但我们的定义略有不同。作为我们证明的副产品，我们得到了B型和D型欧拉多项式的Hyatt递推关系的双变量$q$-模拟。我们结果的进一步推论是这些多项式的一些对称关系，以及B型和D型蛇形排列的生成函数的$q$-模拟。