B 与 D 型排列及 $t,q$-欧拉数的符号计数

一个经典结论指出:所有长度为 $n$ 的排列(分别为错位排列)的超出数奇偶性平衡为欧拉数。2010 年,Josuat-Vergès 给出了以 $q$ 表示交叉数的 $q$-类比。我们将此结果推广至 B 与 D 型排列(分别为错位排列)。结果表明,符号计数与 $\tan$ 和 $\sec$ 的导数多项式相关。Springer 定义的 Springer 数可视为在每个考克斯特群上定义的欧拉数的类比。1992 年 Arnol'd 表明,经典类型 A、B、D 的 Springer 数计数了称为蛇形的各种组合对象。1999 年 Hoffman 发现 $\sec x$ 与 $\tan x$ 的导数多项式及其差值在特定取值处恰好计数了某些类型的蛇形数。随后 Josuat-Vergès 研究了导数多项式的 $(t,q)$-类比 $Q_n(t,q)$、$R_n(t,q)$,并表明当令 $q=1$ 时这些多项式是关于变号数的蛇形枚举多项式。我们的第二个结果是为 $Q_n(t,q)$ 与 $R_n(t,q)$ 寻找作为蛇形枚举多项式的组合解释,尽管结果有些繁杂。