Springer 数与 Arnold 族的再探

为计算 $B_n$ 和 $D_n$ 型（根系）Springer 数，Arnold 引入了交错排列的符号类比，称为 $\beta_n$-snakes，并推导了从 $k$ 开始的 $\beta_n$-snakes 计数递推关系。结果以整数双三角阵列（$v_{n,k}$）的形式给出，$1\le |k|\le n$。Arnold 族是这样一组对象序列，如由 $(v_{n,k})$ 计数的 $\beta_n$-snakes。作为对 Arnold 结果的精细化，我们给出了类似的多项式阵列，由递推定义，用于计算 Hoffman 所建立的与 $\tan x$ 和 $\sec x$ 逐次导数相关的多项式。此外，我们提供了一些实现该多项式阵列的组合对象的新 Arnold 族，它们是 André 排列和 Simsun 排列的符号变体。