通过 Hetyei-Reiner 树计数交替运行的排列

大小为 $n$ 的排列的生成多项式，以交替运行的数量为计数标准，其在 $-1$ 处具有 $\lfloor (n-2)/2 \rfloor$ 重根，对所有 $n \ge 2$ 均成立。这一结果可通过将 David--Barton 公式用于欧拉多项式与 Foata--Sch"utzenberger $\gamma$--分解相结合得出。更近期地，B\'ona 给出了这一现象的群作用证明。本文提出一种基于 Hetyei--Reiner 作用于二进制树上的新方法，导致了对 B\'ona 商多项式的新的组合解释。此外，我们将分析扩展至类型 $B$ 和 $D$ 的排列。作为我们双射框架的副产品，我们还获得了类型 $A$ 和 $B$ 的 David--Barton 类型恒等式的组合证明。