一族 Bell 变换

我们引入了一族通过部分 Bell 多项式定义的序列变换，可用于系统性地研究计数组合学中的各种问题。该族包含了 Bernstein & Sloane 论文中列出的一些变换，现在它们被视为部分 Bell 多项式框架下的变换。我们的目标是从代数和组合的角度描述这些变换。我们提供了生成函数满足的函数方程，推导了逆关系，并给出了一个卷积公式。虽然其全部应用范围仍有待探索，但在本文中，我们通过讨论若干组合构型的计数来展示 Bell 变换的通用性，包括有理 Dyck 路径、有根平面地图和某些类别的排列。