涉及部分 Bell 多项式及相关推广的逆关系与互反律

本文的主要目标有双重：其一，建立处理 Bell 多项式及相关推广的代数框架。其二，基于作者先前关于多元 Stirling 多项式的工作（2015），给出若干与不同类型逆关系相关的新结果，其中包括（1）利用多变量 Lah 多项式刻画可由 Bell 多项式表示的自治正交多项式族，（2）引入“广义 Lagrange 反演多项式”以反演由常数序列以特定方式刻画的函数，（3）一个一般的互反定理，据此特别地，部分 Bell 多项式 $B_{n,k}$ 及其正交伴随 $A_{n,k}$ 属于同一类 Stirling 多项式：$A_{n,k}=(-1)^{n-k}B_{-k,-n}$。此外，对一些数值命题（如 Stirling 反演、Schlömilch-Schläfli 公式）建立了广义多项式版本。若干著名定理（Jabotinsky、Mullin-Rota、Melzak、Comtet）被给出了新的证明。