Baxter 排列中的渐近正态性

Baxter 排列起源于 Glen Baxter 于 1964 年研究交换函数复合的固定点的研究。Baxter 数的计数公式为 $B_n$。令人惊讶的是，$B_n$ 还枚举了许多离散对象，例如 Malvenuto-Reutenauer Hopf 代数基的子代数、$n$ 个节点的双塔二叉树对，或 $n\times n$ 网格的对角矩形划分。细化的 Baxter 数 $D_{n,k}$ 也枚举许多有趣的物体，包括具有 $k-1$ 个下降和 $n-k$ 个上升的 $n$ 个 Baxter 排列、具有 $k$ 个左叶和 $n-k+1$ 个右叶的双塔二叉树对，或具有 $k+1$ 个面和 $n-k+2$ 个顶点的平面双极性 orientations。在本文中，我们通过利用 Bender 提出的充分条件，获得了细化 Baxter 数 $D_{n,k}$ 的渐近正态性。为此，在我们的证明过程中，涉及 $B_n$ 及相关数的计算至关重要，而 $B_n$ 没有闭式公式，使得计算难以处理。为解决这一问题，我们采用线性递推方程解的渐近分析方法。我们的证明是半自动的。所有渐近展开和递推关系均通过利用符号计算软件包来证明。