通过 $A$ 型和 $B$ 型 $q$-Eulerian 多项式得到的两个新的 $q$-整数三角

经典 Eulerian 多项式可以在基 $t^{k-1}(1+t)^{n+1-2k}$ ($1\leq k\leq\lfloor (n+1)/2\rfloor$) 下展开为具有正整系数的形式。该公式蕴含了 Eulerian 多项式的对称性与单峰性。本文中，我们证明了该展开对于 Carlitz 的 $q$-Eulerian 多项式的 $q$-模拟，以及对于 Chow-Gessel 的 $B$ 型 $q$-Eulerian 多项式的一个类似公式。我们将给出这两个公式的一些应用，涉及两个新的关于变量 $q$ 且具有正整系数的多项式序列。一个开放问题是给出这些多项式的组合解释。