共阿贝尔球商覆盖的伽罗瓦群

若 $X'= ({\mathbb B} / \Gamma)'$ 是离散球商 $X_o={\mathbb B} / \Gamma$ 的无挠环面紧化，且 $\xi : (X', T = X'\setminus X_o) \rightarrow (X, D = \xi (T))$ 是将 $(-1)$-曲线吹缩至相应极小模型的映射，则 $G'= Aut (X',T)$ 与有限群 $G=Aut(X,D)$ 一致。特别地，对于具有自同态环 $R = End(E)$ 的椭圆曲线 $E$ 和分裂阿贝尔曲面 $X = A = E \times E$，$G$ 是 $Aut(A) = \mathcal{T}_A \leftthreetimes GL(2,R)$ 的有限子群，其中 $(\mathcal{T}_A,+) \simeq (A,+)$ 是 $A$ 的平移群，$GL(2,R) = \{g \in R_{2 \times 2} \| \det(g) \in R^* \}$。本文对任意椭圆曲线 $E$ 分类了 $Aut (A = E \times E)$ 的有限子群 $H$。通过几何不变量理论，根据 $H$ 在 $A$ 上的不动点集，刻画了 $A/H \simeq ({\mathbb B} / \Gamma)'/H$ 的小平-Enriques 类型。阿贝尔曲面和 K3 曲面 $A/H$ 在文献 \cite{KN} 中详细阐述。第一部分给出了 $A/H$ 为超椭圆曲面、椭圆基有理性曲面、Enriques 曲面或有理曲面的充要条件。由此，完成了分裂阿贝尔曲面 $A = E \times E$ 的有限伽罗瓦商 $A/H$ 的小平-Enriques 分类。第二部分通过特征值，推导了 $A$ 的有限阶线性自同构 $g \in GL(2,R)$ 的共轭类的完整列表。第三部分分类了 $GL(2,R)$ 的有限子群 $H$。最后一部分给出了 $Aut(A)$ 的有限子群 $H$ 的显式生成元和关系，这些子群对应的商 $A/H \simeq ({\mathbb B} / \Gamma)'/H$ 为 K3、超椭圆、椭圆基有理性或 Enriques 曲面。