基于三角基伽辽金方法的稳定数值微分

本文考虑定义于 $(0,2\pi)$ 上函数 $y$ 的 $p$ 阶（$p=1,2,3$）数值微分问题。它们被转化为相应的一类 Fredholm 积分方程。利用三角基上的伽辽金方法设计了具有解析解公式的计算格式。收敛与发散性在推论 5.1、5.2 中均作了分析，且先验误差估计在定理 6.1、7.1、7.2 中一致获得。因此，在 $2\mu p$ 阶周期 Sobolev 源条件下，该算法达到最优收敛率 $O( \delta^{\frac{2\mu}{2\mu+1}} ) \ (\mu = \frac{1}{2} \ \textrm{or} \ 1)$。此外，当函数 $y$ 具有形式 \begin{equation*} \sum^{p-1}_{k=0} a_k t^k + \sum^{N_1}_{k=1} b_k \cos k t + \sum^{N_2}_{k=1} c_k \sin k t, \ b_{N_1}, c_{N_2} \neq 0, \end{equation*} 时，我们给出了与噪声无关的先验参数选取。特别地，在上述函数的数值微分中，相应的参数选取显示出良好的滤波效果（误差趋于 0）。另外，给出了若干数值例子以表明即便具有间断的导数也能被很好地复原。