三维非均匀笛卡尔剖分上弱 Galerkin 有限元方法数值梯度的超收敛性

本文利用均匀与非均匀立方体剖分上的弱 Galerkin 有限元格式，分析了三维二阶椭圆问题梯度逼近的超收敛误差估计。由于从二维到三维对称性的丧失，三维的超收敛结果并非近期二维矩形剖分上超收敛结果 \cite{sup_LWW2018} 向立方体剖分的平凡推广。当采用由单元内部的分片线性多项式与单元面上的分片常数构成的最低阶弱 Galerkin 有限元时，数值梯度在 $L^{2}$ 范数下的误差估计达到 ${\cal O}(h^r) (1.5 \leq r\leq 2)$ 的超收敛阶。一系列数值实验被给出以验证所建立的三维超收敛理论。