Banach 代数中的 $G_1$ 类元素

设 $A$ 为具有单位元 $1$ 的复含单位 Banach 代数。若 $$\|(z-a)^{-1}\|=\frac{1}{\text{d}(z,\sigma(a))} \quad \forall z\in \mathbb{C}\setminus \sigma(a),$$ 则称元素 $a\in A$ 为 \textit{$G_{1}$-类}元素。此处 $d(z, \sigma(a))$ 表示 $z$ 与 $a$ 的谱 $\sigma(a)$ 之间的距离。文中给出了此类元素的一些例子并证明了若干性质。证明了 $G_1$ 类元素是该标量乘以单位元 $1$ 当且仅当其谱是由该标量构成的单点集。证明了若 $T$ 是 Banach 空间 $X$ 上的 $G_1$ 类算子，则 $\sigma(T)$ 的每个孤立点都是 $T$ 的特征值。若进一步 $\sigma(T)$ 为有限集，则 $X$ 是 $T$ 的特征子空间的直接和。