C*-代数上同构的谱刻画

继 Hatori、Miura 和 Tagaki（[4]）的结果之后，我们在此给出从 $C^\star$-代数到 Banach 代数的同构的谱刻画。随后我们利用该结果证明：$C^\star$-代数 $A$ 同构于 Banach 代数 $B$ 当且仅当存在满射 $\phi:A\rightarrow B$ 满足 (i) 对所有 $x,y,z\in A$ 有 $\sigma\left(\phi(x)\phi(y)\phi(z)\right)=\sigma\left(xyz\right)$（其中 $\sigma$ 表示谱），以及 (ii) $\phi$ 在 $\mathbf 1$ 处连续。一个简单例子表明，(i) 不能放宽到两个元素的乘积，正如交换 Banach 代数中的情形。我们的结果也详述了 Bre\v{s}ar 和 \v{S}penko 的论文（[3]）。