齐次完全非线性椭圆方程的基本解

我们证明对于任意正齐次、一致椭圆算子 $F$，偏微分方程 $F(D^2\Phi) = 0$ 在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 中存在两个基本解 $\Phi$ 和 $\tilde \Phi$。对应于 $F$ 有两个唯一的标度指数 $\alpha^*, \tilde\alpha^* > -1$，它们描述了 $\Phi$ 和 $\tilde \Phi$ 的齐次性。我们给出了方程 $F(D^2u) = 0$ 在一侧有界的解的孤立奇点和无穷远处行为的尖锐刻画。一个 Liouville 型结果表明，这两个基本解是 $F(D^2u) = 0$ 在 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 中唯一非平凡的解，且在原点邻域和无穷远处均一侧有界。最后，我们证明每个标度指数的符号与一个两人微分对策的随机过程的常返性或暂留性有关。