拉普拉斯算子有限元离散化的唯一延续原理

唯一延续原理是椭圆偏微分方程的基本性质，给出解为零的条件。由于有限元离散化是帮助理解椭圆方程的自然工具，自然会问是否存在这些原理在离散层面上的成立。本文我们证明了针对二维多边形域上拉普拉斯算子特征值问题的分片线性和分片双线性有限元离散化，给出一种唯一延续原理。具体而言，我们证明，在某些关于所生成三角网格的几何和拓扑假设条件下，任何满足Dirichlet和Neumann边界条件的离散方程 $-\Delta u = \lambda u$ 的解必为零。我们还提供了一个反例，说明在不满足拓扑假设条件时，存在非零的“内部解”。最后，我们给出一个特征值交错问题的应用，其中内部解的空间显式出现。