泛函 van den Berg-Kesten-Reimer 不等式及其对偶形式与应用

由 van den Berg 和 Kesten 在 [11] 中猜想、并由 Reimer 在 [8] 中证明的 BKR 不等式指出，对于有限集 $S_i,i=1,\ldots,n$ 的有限乘积 $S$ 上的事件 $A$ 和 $B$，以及 $S$ 上的任意乘积测度 $P$，$$P(A \Box B) \le P(A)P(B),$$ 其中集合 $A \Box B$ 由那些出于“不相交原因”同时属于 $A$ 和 $B$ 的基本事件组成。精确地说，令 ${\bf n}:=\{1,\ldots,n\}$ 且 $K \subset {\bf n}$，对于 ${\bf x} \in S$，令 $[{\bf x}]_K=\{{\bf y} \in S: y_i = x_i, i \in K\}$，集合 $A \Box B$ 由所有满足存在 ${\bf n}$ 的不相交子集 $K$ 和 $L$ 使得 $[{\bf x}]_K \subset A$ 且 $[{\bf x}]_L \subset B$ 的 ${\bf x} \in S$ 组成。BKR 不等式被推广到一般有限乘积测度空间 $(S,\mathbb{S})$ 上带有乘积概率测度 $P$ 的以下泛函版本，$$E\left\{ \max_{\stackrel{K \cap L = \emptyset}{K \subset {\bf n}, L \subset {\bf n}}} \underline{f}_K({\bf X})\underline{g}_L({\bf X})\right\} \leq E\left\{f({\bf X})\right\}\,E\left\{g({\bf X})\right\},$$ 其中 $f$ 和 $g$ 是非负可测函数，$\underline{f}_K({\bf x}) = {\rm ess} \inf_{{\bf y} \in [{\bf x}]_K}f({\bf y})$ 且 $\underline{g}_L({\bf x}) = {\rm ess} \inf_{{\bf y} \in [{\bf x}]_L}g({\bf y}).$ 通过取 $f({\bf x})={\bf 1}_A({\bf x})$ 和 $g({\bf x})={\bf 1}_B({\bf x})$，并应用一般情况下 ${\bf 1}_{A \Box B} \le \max_{K \cap L = \emptyset} \underline{f}_K({\bf x}) \underline{g}_L({\bf x})$ 这一事实，可以恢复原始的 BKR 不等式。本文还考虑了相关表述，以及 Kahn、Saks 和 Smyth [6] 提出的关于事件的对偶不等式的泛函版本。应用包括顺序统计量、分配问题以及随机图中的路径问题。