高概率下因不相交原因发生事件的 BKR 运算

给定乘积空间 $S=\prod_{i=1}^n S_i$ 上的事件 $A$ 和 $B$，集合 $A \Box B$ 由所有向量 ${\bf x}=(x_1,\ldots,x_n) \in S$ 组成，对于其中每个向量，存在 $\{1,\ldots,n\}$ 的不相交坐标子集 $K$ 和 $L$，使得给定坐标 $x_i, i \in K$ 时，无论剩余坐标上 ${\bf x}$ 的值如何，都有 ${\bf x} \in A$；同样，给定坐标 {$x_j, j \in L$} 时，有 ${\bf x} \in B$。对于赋予乘积测度的离散空间有限乘积，van den Berg 和 Kesten [3] conjectured 了 BKR 不等式 $$P(A \Box B) \le P(A)P(B) \quad (1)$$，并由 Reimer [13] 证明。在 [7] 中，不等式 (1) 被推广到一般乘积概率空间，将 $A \Box B$ 替换为集合 $A \Box_{11} B$，该集合由那些仅基于上述 $K$ 和 $L$ 中揭示的坐标而以概率一保证 ${\bf x} \in A$ 和 ${\bf x} \in B$ 的结果 ${\bf x}$ 组成。由于 $A \Box B \subseteq A \Box_{11} B$，从而得到了原始 BKR 不等式 (1) 的加强版。特别是，可能出现 $A \Box B$ 为空而 $A \Box_{11} B$ 非空的情况。我们提出了进一步扩展 $A \Box_{st} B$，其依赖于概率阈值 $s$ 和 $t$，其中 $A \Box_{11} B$ 是 $s$ 和 $t$ 均取值为 1 的特例。$A \Box_{st} B$ 中的结果 ${\bf x}$ 是指存在不相交的坐标集 $K$ 和 $L$，使得给定揭示坐标集 $K$ 上 $\bf x$ 的值，$A$ 发生的概率至少为 $s$，且给定 $L$ 中 $\bf x$ 的坐标，$B$ 发生的概率至少为 $t$。我们提供了简单的例子来说明这些扩展的实用性。