乘积空间中提升的分解

设 $(X, {\mathfrak A},P)$ 和 $(Y, {\mathfrak B},Q)$ 为两个概率空间，$R$ 为其在乘积 $\sigma$-代数 ${\mathfrak A}\otimes\mfB$ 上的斜乘积。此外，设 $\{({\mathfrak A}_y,S_y)\colon y\in{Y}\}$ 为 $R$ 的一个 $Q$-分解（若对每个 $y\in{Y}$ 均有 ${\mathfrak A}_y={\mathfrak A}$，则我们得到关于 $Q$ 在 ${\mathfrak A}$ 上的正则条件概率），并设 $\mfC$ 为 ${\mathfrak A}\cap\bigcap_{y\in{Y}}{\mathfrak A}_y$ 的一个子 $\sigma$-代数。对 $f\in\mcL^{\infty}(R)$，我研究 ${\mathbb E}_{\mfC\otimes\mfB}(f)$（关于 $\mfC\otimes\mfB$ 的 $f$ 的条件期望）的 $Y$-截面 $[{\mathbb E}_{\mfC\otimes\mfB}(f)]^y$ 与 $f^y$ 关于 $\mfC$ 和 $S_y$ 的条件期望之间的关系。此外，我证明在 $\mcL^{\infty}(\wh{R})$（$\wh{R}$ 为 $R$ 的完备化）上存在提升 $\pi$，且在 $\mcL^{\infty}(\wh{S_y})$（$y\in Y$）上存在提升 $\sigma_y$，使得 \begin{equation*} [\pi(f)]^y= \sigma_y\Bigl([\pi(f)]^y\Bigr) \qquad\mbox{对所有} \quad y\in Y\quad\mbox{和}\quad f\in\mcL^{\infty}(\wh{R}). \end{equation*} 作为一个应用，给出了具有等价可测版本的随机过程的一个刻画。