条件期望算子的乘积：收敛与发散

本文研究条件期望算子乘积的收敛性。我们证明，若 $(\Omega,\cal{F},P)$ 是一个非纯原子的概率空间，则对于 $L^2(\Omega,\cal{F},P)$ 中很大一类随机变量，可构造涉及 $\cal{F}$ 的 3 或 4 个子 $\sigma$-域的条件期望算子乘积的发散序列。这以否定的方式解决了一个长期未决的猜想。另一方面，我们证明若 $(\Omega,\cal{F},P)$ 是一个纯原子的概率空间，则涉及 $\cal{F}$ 的任意有限个子 $\sigma$-域的条件期望算子的乘积必对 $L^1(\Omega,\cal{F},P)$ 中所有随机变量收敛。