随机过程可测版本的存在性

设 $(X, \mfA,P)$、$(Y, \mfB,Q)$ 为两个任意概率空间，记 $\P:=\{(\mfA,P_y):y\in{Y}\}$ 为 $\mfA$ 关于 $Q$ 的正则条件概率。记 $R$ 为由 $\{P_y:y\in{Y}\}$ 在积分为 $\mfA\otimes\mfB$ 上的完备测度 $\wh{R}$。我证明了过程 $\{\xi_y:y\in{Y}\}$ 具有等价的 $\wh{R}$ 可测版本当且仅当它是关于某个特定 $\sigma$ 代数可测的，该 $\sigma$ 代数大于 $\mfA\otimes\mfB$，且由 $\P$ 唯一确定。已知并非所有过程都具有等价可测版本（参见 \cite[\S 19.5]{St}）。本文的方法与之前的尝试截然不同。我们回归 \cite[Theorem 3]{ta1}，其中 Talagrand 在 $Y$ 具备可分散度度量的情况下（即 $R=P\times{Q}$），证明了可测过程的等价可分版本的存在。该定理是 \cite[Theorem 6.1]{smm} 和 \cite[Theorem 5.1]{mms1} 的强广泛化，其中仅证明了一类合适的提升可将可测过程转化为可测过程。