修正 Bessel 函数 $K_{0}$ 及其相关指数函数导数的泛函估计

令 $K_{0}$ 表示零阶第二类修正 Bessel 函数。在本文中，我们将研究正自变量下的函数 $\tilde{\omega}_{n}\left( x\right) :=\frac{\left( -x\right) ^{n}K_{0}^{\left( n\right) }\left( x\right) }{n!}$。函数 $\tilde{\omega}_{n}$ 在将二维空间波动方程表述为推迟势积分方程时起着重要作用。我们将证明，导数 $\tilde{\omega}_{n}^{\left( m\right) }$ 关于 $n$ 的增长可由 $O\left( \left( n+1\right) ^{m/2}\right)$ 界定，而对于小和大自变量 $x$，其增长甚至变得与 $n$ 无关。这些估计基于 $K_{0}$ 的一个积分表示，该表示涉及函数 $g_{n}\left( t\right) =\frac{t^{n}}{n!}\exp\left( -t\right)$ 及其导数。随后的估计依赖于对 $g_{n}$ 及其导数的精细分析，这也将在本文中予以呈现。