全在线匹配 II：超越 Ranking 与 Water-filling

Karp、Vazirani 和 Vazirani（STOC 1990）开创了在线二分匹配的研究，此后该问题在在线算法中一直占据核心地位。尤为重要的是用于整数匹配的 Ranking 算法和用于分数匹配的 Water-filling 算法。文献中的大多数算法都可视为这两种算法在相应模型中的改编。近期，Huang 等人（STOC 2018, SODA 2019）引入了一个更通用的模型，称为\emph{全在线匹配}（fully online matching），该模型考虑一般图并允许所有顶点在线到达。他们还将 Ranking 和 Water-filling 推广到全在线匹配并给出了紧分析：在二分图上 Ranking 的竞争比为 $\Omega \approx 0.567$，其中 $\Omega$ 常数满足 $\Omega e^\Omega = 1$；在一般图上 Water-filling 的竞争比为 $2-\sqrt{2} \approx 0.585$。我们提出了严格优于 Ranking 和 Water-filling 的全在线匹配算法。对于二分图上的整数匹配，我们基于 Ranking 和 Water-filling 的在线对偶分析，设计了一个竞争比为 $0.569$ 的混合算法，称为 Balanced Ranking。据我们所知，这是在线匹配文献中首个成功融合 Water-filling 思想的整数算法。对于一般图上的分数匹配，我们给出了一个竞争比为 $0.592$ 的算法，称为 Eager Water-filling，它可在顶点到达时即进行匹配。相比之下，原始的 Water-filling 算法总是在顶点截止期才进行匹配。我们在分数匹配上的结果进一步显示了全在线匹配与 Wang 和 Wong（ICALP 2015）的一般顶点到达模型之间的分离，因为后者模型由 Buchbinder、Segev 和 Tkach（ESA 2017）给出的上界为 $0.5914$。