从施瓦茨空间到梅林变换

本文的主要动机是试图详尽解释梅林变换（Mellin transform）如何在一个类似于著名的盖尔范德变换构造的过程中自然产生。我们从研究一类施瓦茨函数 $\mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$ 开始，其中 $\mathbb{R}_+$ 为所有正实数之集合。我们建立了这一弗雷歇（Fréchet）空间的若干性质，随后引入梅林卷积算子，其使 $\mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$ 成为一个交换弗雷歇代数。我们给出了梅林-杨卷积不等式的简证，并进一步证明结构空间 $\Delta(\mathcal{S}(\mathbb{R}_+),\star)$（即非零、线性、连续且乘法的泛函 $m:\mathcal{S}(\mathbb{R}_+)\longrightarrow \mathbb{R}$ 之空间）同胚于 $\mathbb{R}$。最后，我们表明梅林变换出现在一个与盖尔范德变换构造极为相似的过程中。