主指标 (maj) 及其 Schützenberger 对偶

我们为斜形状 $\lambda/\mu$ 的半标准杨表（SsYT）构造了独立粒子表示。该粒子系统的配分函数给出了斜形状 $\lambda/\mu$ 的 SsYT 的生成函数。由此我们得到了 SsYT 生成函数的 Stanley 公式的双射证明。为此，我们对每个 SsYT $T$ 定义了其基座 $\mathsf{p}\left( T\right)$，它是一个具有相同形状 $\lambda/\mu$ 的 SsYT。基座的集合是有限的。我们的双射将每个 SsYT $T$ 关联到一个对 $\left( \mathsf{p}\left( T\right) ,Y\left( T-\mathsf{p}\left( T\right) \right) \right)$，其中 $Y\left( T-\mathsf{p}\left( T\right) \right)$ 是 SsYT $\left( T-\mathsf{p}\left( T\right) \right)$ 的读取杨图。 \newline 特别地，每个标准杨表（SYT）$P$ 都有其基座 $\mathsf{p}\left( P\right)$。SYT 的两个统计量——体积 $\left\vert \mathsf{p}\left( P\right) \right\vert$ 和 $\mathsf{maj}\left( P\right)$——通过 Schützenberger 对合 $Sch:$ 相关联：$$\left\vert \mathsf{p}\left( P\right) \right\vert =\mathsf{maj}\left( Sch\left( P\right) \right) .$$