斜阶梯形状的逆向平面分拆与 $q$-欧拉数

近期，Naruse 发现了斜形状标准 Young 表个数的钩长公式。Morales、Pak 与 Panova 找到了 Naruse 钩长公式在半标准 Young 表（SSYTs）与逆向平面分拆（RPPs）上的两个 $q$-类比。作为公式应用，他们将某些 $q$-欧拉数（即锯齿边带条的 SSYT 与 RPP 的生成函数）用带权 Dyck 路径表示。他们给出了斜阶梯形状 SSYT 生成函数的行列式公式，并提出了关于同形状 RPP 的两个猜想。一个猜想是关于\emph{愉悦图}个数用 Schr"oder 路径表示的行列式公式，另一个是关于斜阶梯形状 RPP 生成函数用 $q$-欧拉数表示的行列式公式。本文中，我们表明 Morales、Pak 与 Panova 关于 $q$-欧拉数的结果可由 Prodinger 的已有结果通过连分式操作导出。这些 $q$-欧拉数自然表示为带涉及 \emph{maj} 的某些统计量的交错排列的生成函数。Huber 与 Yee 已证明这些 $q$-欧拉数是带涉及 \emph{inv} 的某些统计量的交错排列的生成函数。通过修改 Foata 双射，我们构造了交错排列上的一个双射，将涉及 \emph{maj} 的统计量映至涉及 \emph{inv} 的统计量。我们也证明了前述 Morales、Pak 与 Panova 的两个猜想。