斜形状钩公式 I. $q$-类似与双射
组合数学
2019-06-26 v5 代数几何
摘要
著名的钩长公式给出了直形状标准杨表个数的乘积公式。2014年，Naruse 宣布了一个更一般的公式，将斜形状标准杨表个数表示为钩长乘积在激发图上的正和。我们分别利用阶乘 Schur 函数以及 Hillman--Grassl 对应的一般化，给出了 Naruse 公式的代数证明和组合证明。主要新结果是 Naruse 公式的两个不同的 -类似：一个针对斜 Schur 函数，另一个针对斜形状反向平面分拆的计数。我们建立了这些对象与具有特定非零项的整数数组族之间的显式双射，这也证明了第二个公式。
引用
@article{arxiv.1512.08348,
title = {Hook formulas for skew shapes I. $q$-analogues and bijections},
author = {Alejandro Morales and Igor Pak and Greta Panova},
journal= {arXiv preprint arXiv:1512.08348},
year = {2019}
}
备注
This is the main part of the first version of "Hook formulas for skew shapes". It contains the statements and proofs, and comparison with other formulas. The relations with q-Euler numbers and Dyck paths are now part of "Hook formulas for skew shapes II". v4. Typos and edits fixed, v5. fixed minor typos in Prop. 4.6, clarified definition of flagged tableaux before Prop. 3.5