Gelfand变换的余弦表现形式

本文旨在详细阐释（连续）余弦变换与离散（时间）余弦变换如何作为著名的Gelfand变换的某些自然表现形式而出现。我们从引入余弦卷积$\star_c$开始，其可视为经典卷积与其“孪生兄弟”反卷积的“算术平均”。$\star_c$的d'Alambert性质在建立$\Delta(L^1(G),\star_c)$与余弦类$\mathcal{COS}(G)$之间的双射中起关键作用，若$\mathcal{COS}(G)$装备紧一致收敛拓扑$\tau_{ucc}$，该映射实为开映射。随后，若$G = \mathbb{R},\mathbb{Z}, S^1$或$\mathbb{Z}_n$，我们找到一个与$\Delta(L^1(G),\star_c)$同胚的相对简单拓扑空间。最后，我们见证了Gelfand变换向上述余弦变换的“归约”。