operad 与 Maurer-Cartan 空间

本论文分为两部分。第一部分由关于 operad 理论、模型范畴、单纯同伦理论、有理同伦理论、Maurer-Cartan 空间以及形变理论的回顾组成。第二部分涉及卷积代数及其若干应用的理论，如下所述。假设给定一种代数类型、一种余代数类型，以及这些代数结构类型之间的关系（分别由 operad、余 operad 与扭转态射所编码）。那么，可以赋予从余代数 C 到代数 A 的线性映射空间一个同伦意义下的李代数自然结构。我们称所得同伦李代数为 A 与 C 的卷积代数。我们研究卷积代数理论及其与同伦代数工具（无穷态射与同伦转移定理）的相容性。此后，我们将该理论应用于诸多领域，如导出形变理论与有理同伦理论。在第一种情形中，我们利用所发展的工具构造一个表示 Maurer-Cartan 元素空间的万有李代数，这是形变理论的基本对象。在第二种情形中，我们推广了 Berglund 关于带基点拓扑空间之间映射空间的有理模型的结果。在本论文最后一章，我们给出形变理论中两个重要定理——Goldman-Millson 定理与 Dolgushev-Rogers 定理——的一种新处理方法。