从经典力学三种作用的诠释到量子力学中的波函数

首先，我们表明经典力学中存在对应于不同边界条件的三种作用：两种众所周知的作用，即连接初始位置 $x_0$ 与其在时间 $t$ 的位置 $x$ 的 Euler-Lagrange 经典作用 $S_{cl}(x,t;x_0)$，以及连接具有初始作用 $S_0(x)$ 的粒子族与其在时间 $t$ 的各种位置 $x$ 的 Hamilton-Jacobi 作用 $S(x,t)$；还有一种新的作用，即确定性作用 $S(x,t;x_0,v_0)$，它将具有初始位置 $x_0$ 和初始速度 $v_0$ 的粒子连接到其在时间 $t$ 的位置 $x$。我们在半经典近似下研究了当普朗克常数 $h$ 趋于 0 时，作为 Madelung 方程解的量子密度和量子作用的收敛性。我们发现了两种取决于初始密度的不同解。在第一种情况下，初始量子密度为经典密度，量子密度和量子作用收敛于满足统计 Hamilton-Jacobi 方程的经典作用和经典密度。这些方程描述了一组经典粒子，其初始位置仅由初始密度已知。在第二种情况下，初始密度收敛于 Dirac 密度，密度收敛于 Dirac 函数，量子作用收敛于确定性作用。因此，我们在经典力学中引入了满足统计 Hamilton-Jacobi 方程并解释 Gibbs 佯谬的不可分辨粒子，以及满足确定性 Hamilton-Jacobi 方程的可分辨粒子。最后，我们提出了一个依赖于初始条件（制备）的 Schrödinger 波函数诠释。这种双重诠释似乎是 Louis de Broglie“双重解”思想的诠释。