从布朗时间布朗片到四阶和Kuramoto-Sivashinsky变体相互作用偏微分方程组

我们引入了$n$参数$\mathbb{R}^d$值布朗时间布朗片（BTBS）：一种布朗片，其中每个“时间”参数被替换为独立布朗运动的模。然后，我们将BTBS与一个由$n$个线性四阶相互作用偏微分方程组成的新系统以及相应的四阶相互作用非线性偏微分方程联系起来。这种耦合现象是布朗片（通过其方差）与BTBS中的布朗运动之间相互作用的结果；它导致了我们早期布朗时间过程（BTP）与四阶线性偏微分方程联系的复杂、有趣且随机场的推广。我们的BTBS不属于经典的随机场理论；为了证明我们新的偏微分方程联系，我们推广了\cite{Abtp1,Abtp2}中的BTP方法，并将其与布朗片与线性偏微分方程系统的联系相结合，我们还给出了该线性偏微分方程系统及其相应的非线性二阶偏微分方程和$2n$阶线性偏微分方程。此外，我们引入了$n$参数$d$维线性Kuramoto-Sivashinsky（KS）片核（或“转移密度”）；并将其与一个紧密相关的新线性Kuramoto-Sivashinsky变体相互作用偏微分方程系统联系起来，推广了我们早期的单参数虚布朗时间布朗角核及其与KS偏微分方程的联系。这里的相互作用意味着我们的偏微分方程组是为一个函数族求解的，这一特征与著名的流体动力学模型共享。这里建立的相互作用偏微分方程联系在快速发展的迭代型过程领域及其与新的重要高阶偏微分方程和一些等价分数阶柯西问题的联系中开辟了另一个新的基本前沿。我们将这里给出的BTBS四阶相互作用偏微分方程组与一个相互作用的分数阶偏微分方程组联系起来，并在另一篇文章中进一步研究它。