$L_1$ 范数下的冻结标签最佳醒悟时间为五

冻结标签问题由 Arkin 等人于 SODA'02 提出，旨在从单个活跃机器人开始唤醒 $n$ 个机器人的群体。在基本几何版本中，每个机器人被赋予平面坐标。一旦机器人被唤醒，它即可前往Inactive 机器人以唤醒它们。目标是最小化最后一机器人的醒悟时间，即完成时间。尽管该问题在计算复杂性和近似算法方面取得了显著进展，但对完成时间的精确界的描述仍是主要开放问题之一。本文在 $\ell_1$ 范数下解决了此问题，证明可始终实现至多 $5r$ 的完成时间，其中 $r$ 为初始活跃机器人与任意睡眠机器人之间的最大距离。此外，可在最优时间 $O(n)$ 内计算实现至多 $5r$ 的计划。两项界限（时间和完成时间）均为最优。这意味着在 $\ell_2$ 范数下，新的上界为 $5\sqrt{2}r \approx 7.07r$，取代了目前最佳界限 $(5+2\sqrt{2}+\sqrt{5})r \approx 10.06r$。