在二维平面上使用 L1 距离时，冻结标签问题为 NP-hard

冻结标签问题（FTP）是一种调度问题，具有用于机器人群体激活的实际应用，由 Arkin 等人于 2002 年提出。该问题寻求一种有效的方式来激活机器人群体，初始仅有一个活跃的机器人。激活通过直接接触发生，一旦机器人被激活后即可移动并帮助激活其他机器人。尽管该问题已被证明在以 $L_2$ 距离下的欧几里得平面 $\mathbb{R}^2$ 中以及以任意 $L_p$ 距离（$p \ge 1$）下的三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中为 NP-hard，但其在二维平面 $\mathbb{R}^2$ 中使用 $L_1$（曼哈顿）距离下的复杂度一直是一个开放问题。本文通过证明 FTP 在以 $L_1$ 距离下的欧几里得平面中为强 NP-hard 来解决这一问题。