用一组移动机器人巡逻高优先级线段并访问单位区间的最优策略

考虑一个需要防范未授权渗透的区域。该区域的边界建模为单位线段，由需要最高保护级别的高优先级线段和需要被无限频繁访问的低优先级线段交替组成。我们研究用一组 $k$ 个机器人巡逻该边界的问题。目标是获得一种策略，在无限频繁访问低优先级点的同时，最小化高优先级点的最大空闲时间（某点无人值守的时间）。我们使用单盖（固定长度的线段）概念，其中每个高优先级点至少被一个盖覆盖，并将其扩展为强双盖，其中每个高优先级点至少被两个盖覆盖，且单位线段被完全覆盖。令 $\lambda_{k-1}$ 为接受含 $k-1$ 个盖的单 $\lambda_{k-1}$-盖覆盖的最小盖长度，$\Lambda_{2k}$ 为接受含 $2k$ 个盖的强双 $\Lambda_{2k}$-盖覆盖的最小盖长度。我们证明当机器人最大速度为 1 时，$2\min(\Lambda_{2k}, \lambda_{k-1})$ 是空闲时间的下界。为计算 $\Lambda_{2k}$ 和 $\lambda_{k-1}$，我们提出一种时间复杂度为 $O(\max(k, n)\log{n})$ 的算法，其中 $n$ 为高优先级段的数量。对于上界，首先我们给出一种空闲时间为 $\lambda_{k-1}$ 的策略，其中一个机器人覆盖单位线段，其余机器人覆盖含 $k-1$ 个盖的单 $\lambda_{k-1}$-盖覆盖的盖。然后，我们给出一种空闲时间为 $3\Lambda_{2k}$ 的简单策略，将单位线段划分为长度相等的非不相交的 $k$ 段，由机器人同步覆盖。接着，我们给出一种复杂策略，将单位线段划分为 $k$ 个非不相交段，由机器人异步覆盖。