巡逻围栏的最优策略

一个经典的多智能体围栏巡逻问题问：若线上每点至少每单位时间被访问一次，则速度为 $v_1,\ldots,v_k$ 的 $k$ 个智能体所能巡逻的线段最大长度 $L$ 是多少。易见对某个效率 $\alpha \in [\frac{1}{2},1)$ 有 $L = \alpha \sum_{i=1}^k v_i$。在一系列逐步提升效率的工作之后，有人猜想最优效率趋近于 $\frac{2}{3}$。此前未知任何低于 $1$ 的效率上界。我们证明了首个此类上界，并根据最小速度比 $s = {v_{\max}}/{v_{\min}}$ 与智能体数量 $k$ 紧致地界定了最优效率。在我们的上界指导下，我们构造了一种效率趋近于 $1$ 的方案，推翻了 Kawamura 与 Soejima 的猜想。我们的方案在最大速度差与所用智能体数量方面渐近匹配上界，证明其渐近紧致。围栏巡逻问题的一个变体考虑圆形围栏，并要求最大化其周长。我们考察该变体的单向情形，即所有智能体仅允许沿一个方向（如顺时针）移动。起初，Czyzowicz 等人猜想策略 $L = \max_{r \in [k]} r \cdot v_r$（其中 $v_1 \geq v_2 \geq \dots \geq v_k$）是最优的。后通过仅针对特定智能体数量给出边际改进 $L$ 的构造，证明并非如此。我们给出一种通用构造，对任意智能体集合均给出 $L = \frac{1}{33 \log_e\log_2(k)} \sum_{i=1}^k v_i$，特别地对于 $1, 1/2, \dots, 1/k$ 的情形当 $k \rightarrow \infty$ 时发散，从而肯定地解决了 Kawamura 与 Soejima 的一个猜想。