高维网格上常因子时间最优多机器人路由在多半二次时间内的实现

设 $G = (V, E)$ 为一个 $m_1 \times \ldots \times m_k$ 网格。假设每个 $v \in V$ 被一个机器人占据，且机器人可通过沿 $G$ 的环的同步旋转在一步中移动到相邻顶点，我们首先确定，$G$ 上带标签机器人的任意重配置可在 $O(k\sum_i m_i)$ 完工期内完成，且最坏情况下需要 $O(|V|^2)$ 运行时间，当 $G$ 非退化时为 $o(|V|^2)$（在当前语境中，若网格近乎一维则称其退化）。所得算法 iSAG 提供平均情形 $O(1)$-近似（即常因子）时间最优性保证。当所有维度大小相近为 $O(|V|^{\frac{1}{k}})$ 时，iSAG 的运行时间趋近于线性 $O(|V|)$。定义 $d_g(p)$ 为给定问题实例 $p$ 下所有机器人的个体初始与目标构型间的最大距离，基于 iSAG，我们开发了 PartitionAndFlow (PAF) 算法，对任意固定 $k \ge 2$ 计算 $O(d_g(p))$ 完工期的解，使用多半 $o(|V|^2)$ 运行时间。PAF 关于解的时间最优性提供最坏情形 $O(1)$-近似。我们注意到该问题的最坏情形运行时间为 $\Omega(|V|^2)$。