最大链形成问题的离散与连续研究

大多数现有的机器人编队问题都寻求某种具有\emph{最小}因而高效的结构的目标编队。例子包括聚集问题和链形成问题。在本工作中，我们研究试图达到\emph{最大}结构的编队问题，例如支持探索场景中的高效覆盖。最近的一个例子是 NASA Shapeshifter 项目，其描述了机器人如何形成一条中继链，借此将从外星洞穴探索中收集的数据发送回基地。作为理解此类最大化任务的第一步，我们引入并研究了最大链形成问题（Max-Chain-Formation problem），其中 $n$ 个机器人沿一条蜿蜒的、可能自相交的链排序，且必须形成一条连接其两个端点、长度最大的连通直线。我们在离散和连续时间模型中提出并分析了相应策略。在离散情形下，若所有机器人初始共线，我们给出完整分析，表明达到 $\varepsilon$ 近似的最坏情况时间上界为 $\mathcal{O}(n^2 \cdot \log (n/\varepsilon))$、下界为 $\Omega(n^2 \cdot~\log (1/\varepsilon))$。若链的一个端点保持静止，该结果可推广至非共线情形。若两个端点均移动，我们确定了一类运行时间无界的实例。对于连续模型，我们给出运行时间界为最优的 $\Theta(n)$ 的策略。避免类似离散情形的无界运行时间关键依赖于该策略中一个反直觉的方面：在其它所有机器人全速移动时放慢端点速度。令人惊讶的是，我们可以证明类似的技巧在离散模型中并不奏效。