简单量子群群元素的自由场表示

给出了满足$\Delta(g) = g\otimes g$的群元素（也称为“universal ${\cal T}$-matrix”）的一种表示，形式为 $$g = \left(\prod_{s=1}^{d_B}\phantom.^>\ {\cal E}_{1/q_{i(s)}}(\chi^{(s)}T_{-i(s)})\right) q^{2\vec\phi\vec H} \left(\prod_{s=1}^{d_B}\phantom.^<\ {\cal E}_{q_{i(s)}}(\psi^{(s)} T_{+i(s)})\right)$$ 其中$d_B = \frac{1}{2}(d_G - r_G)$，$q_i = q^{|| \vec\alpha_i||^2/2}$，$H_i = 2\vec H\vec\alpha_i/||\vec\alpha_i||^2$，$T_{\pm i}$是分别与Cartan代数和{\it 单}根相关的量子群生成元。“自由场”$\chi,\ \vec\phi,\ \psi$构成一个类Heisenberg代数：\psi^{(s)}\psi^{(s')} = q^{-\vec\alpha_{i(s)} \vec\alpha_{i(s')}} \psi^{(s')}\psi^{(s)}, & \chi^{(s)}\chi^{(s')} = q^{-\vec\alpha_{i(s)}\vec\alpha_{i(s')}} \chi^{(s')}\chi^{(s)}& {\rm for} \ s<s', \\ q^{\vec h\vec\phi}\psi^{(s)} = q^{\vec h\vec\alpha_{i(s)}} \psi^{(s)}q^{\vec h\vec\phi}, & q^{\vec h\vec\phi}\chi^{(s)} = q^{\vec h \vec\alpha_{i(s)}}\chi^{(s)}q^{\vec h\vec\phi}, & \\ &\psi^{(s)} \chi^{(s')} = \chi^{(s')}\psi^{(s)} & {\rm for\ any}\ s,s'. 我们认为，$g$在算子值universal enveloping algebra中所张成的$d_G$参数“流形”在群乘法$g \rightarrow g'\cdot g''$下也是不变的。具有性质${\cal R} (g\otimes I)(I\otimes g) = (I\otimes g)(g\otimes I){\cal R}$的universal ${\cal R}$-matrix由通常的公式给出 $${\cal R} = q^{-\sum_{ij}^{r_G}||\vec\alpha_i||^2|| \vec\alpha_j||^2 (\vec\alpha\vec\alpha)^{-1}_{ij}H_i \otimes H_j}\prod_{ \vec\alpha > 0}^{d_B}{\cal E}_{q_{\vec\alpha}}\left(-(q_{\vec\alpha}- q_{\vec\alpha}^{-1})T_{\vec\alpha}\otimes T_{-\vec\alpha}\right).$$