处于约束势阱中的分数布朗运动：非平衡分布尾部与最优波动

在较长时间尺度上，处于约束外部势阱中的分数布朗运动粒子会达到非平衡(非布朗兹瓦尔)稳态。本文考虑尺度不变的幂律势阱 $V(x)\sim |x|^m$，其中 $m>0$，并运用最优波动方法(OFM)确定稳态概率分布 $\mathcal{P}(x)$ 的较大 $|x|$ 尾部。计算涉及通过最小化该系统的精确作用函数来寻找粒子的最优路径(即确定这些尾部的最可能路径)。利用模型的动力学尺度不变性结合OFM解答，我们建立了 $\ln \mathcal{P}(x)$ 的较大 $|x|$ 尾部表达式，仅差一个无量纲因子 $\alpha(H,m)$，其中 $0<H<1$ 为 Hurst 指数。我们解析地确定 $\alpha(H,m)$ (i) 在 $H\to 0$ 和 $H\to 1$ 的极限情况下，以及 (ii) 当 $m=2$ 且 $H$ 为任意值时，对应于分数 Ornstein-Uhlenbeck(fOU)过程。我们的fOU过程结果与已知的精确 $\mathcal{P}(x)$ 和自相关函数一致。尾部形式给出了粒子约束条件的精确条件，具体取决于 $H$ 和 $m$。对于 $H\neq 1/2$，尾部编码了稳态分布的非平衡特性，我们观察到除 $m=2$ 外，系统的时间可逆性被破坏。为计算任意允许的 $H$ 和 $m$ 下的最优路径和因子 $\alpha(H,m)$，需要求解一个(通常是非线性的)积分微分方程。为此，我们发展了一种特殊的数值迭代算法，严格地考虑了 $H<1/2$ 时最优路径固有的尖角奇点的解析贡献。