超谐势中的分数布朗运动与非玻尔兹曼稳态分布

我们研究了由长程关联的分数高斯噪声驱动的粒子在形式为 $U(x)\propto x^{2n}$ ($n\in\mathbb{N}$) 的超谐外势中的随机运动。当该噪声被视为外部噪声时，由此产生的过阻尼运动由分数布朗运动的非马尔可夫朗之万方程描述。对于这种情况，我们证明了存在长时间稳态概率密度函数（PDF），其形状与在约束势 $U(x)$ 中朴素预期的玻尔兹曼 PDF 强烈偏离。我们详细分析了趋于稳态的时间过程以及非玻尔兹曼稳态 PDF 的形状。一个典型特征是，与相应的玻尔兹曼分布相比，亚扩散、反持久（负自相关）运动倾向于使概率在原点附近聚集，而超扩散（持久）运动则出现相反的趋势。对于后一种情况，这导致 PDF 呈现明显的双峰形状。我们将此性质与在超谐势中观测到的马尔可夫列维飞行（Lévy flights）的类似现象进行了比较。我们还证明了由分数高斯噪声驱动的分数朗之万方程所刻画的运动总是弛豫到玻尔兹曼分布，因为在这种情况下涨落耗散定理得到满足。