与 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 作用相关的 Onsager Lie 代数四个基

Onsager Lie 代数 $O$ 是由生成元 $A$, $B$ 及关系 $[A, [A, [A, B]]] = 4[A, B]$ 和 $[B, [B, [B, A]]] = 4[B, A]$ 定义的无限维 Lie 代数。通过将 $O$ 嵌入四面体 Lie 代数 $\boxtimes$ 中，我们获得了向量空间 $O$ 的四个直接和分解，每个分解包含三个余项。正如我们所展示的，这些分解在 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 作用下自然地关联。对于每个分解，我们提供每个余项的基。此外，我们描述了 Lie 括号作用在这些基上的情况，并展示它们如何从 $O$ 的生成元 $A$, $B$ 递归构造。最后，我们讨论 $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ 在这些基上的作用，并确定一些基之间的过渡矩阵。