w-纽结对象的有限型不变量 II：缠结、泡沫与Kashiwara-Vergne问题

这是致力于研究w-纽结，以及更一般地，w-纽结对象（w-辫、w-缠结等）的系列论文中的第二篇。这些是一类比其“通常”对应物更宽但更弱的纽结对象类别。为了从通常纽结（或u-纽结）得到（例如）w-纽结，必须允许非平面的“虚拟”纽结图，从而扩大了纽结的基础集合。但随后又施加了一个超越通常Reidemeister移动集合的新关系，称为“上交叉交换”关系，使得w-纽结对象再次变弱一些。Satoh研究了几类w-纽结对象（以“弱虚拟”之名），并表明它们与$\mathbb R^4$中的某些类纽结曲面密切相关。在本文中，我们研究w-缠结和w-三价图（也称为w-缠结泡沫）的有限型不变量。正如用于通常纽结对象的弦图空间$\mathcal A$与度量李代数相关，用于w-纽结对象的“箭头图”空间$\mathcal A^w$与不一定度量的李代数相关。关于w-纽结对象的许多问题都等价于关于李代数的问题。最值得注意的是，我们发现w-泡沫的同态通用有限型不变量本质上与Kashiwara-Vergne猜想的解相同，并且Alekseev-Torossian关于Drinfel'd结合子和Kashiwara-Vergne的大部分工作可以重新解释为对w-泡沫的研究。